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0 引言

目前氣動薄膜調(diào)節(jié)閥在航空產(chǎn)品測試臺中的應(yīng)用十分廣泛，一種常見的應(yīng)用見圖1所示。

圖1 氣動薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制框圖

然而，實(shí)際工程中使用PI算法對這類對象控制時(shí)，控制精度不高，其中一個具體的表現(xiàn)是測壓點(diǎn)的壓力容易出現(xiàn)波動。

為解決工程中控制精度不高的問題，應(yīng)首先建立控制對象的一個合適的模型。

研究了氣動薄膜閥的結(jié)構(gòu)與執(zhí)行機(jī)構(gòu)工作原理，在給出氣動薄膜閥的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上發(fā)展了一個動態(tài)仿真模型，研究了運(yùn)動閥芯動態(tài)不平衡力，以理想氣體特性為基礎(chǔ)，分別建立了減壓閥充填過程動態(tài)數(shù)學(xué)模型和減壓器工作過程的數(shù)學(xué)模型。

這些文獻(xiàn)沒有作出關(guān)于圖1所示系統(tǒng)的模型，但可作為展開進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)。

為便于對工程問題進(jìn)行分析與仿真，以獲得線性系統(tǒng)模型為目標(biāo)展開研究工作。

1 氣動薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型

描述了氣動薄膜調(diào)節(jié)閥的基本結(jié)構(gòu)及工作原理（見圖2所示），可以將理想狀態(tài)下的氣動薄膜調(diào)節(jié)閥的運(yùn)動機(jī)構(gòu)看作是質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)，給出了它的動態(tài)方程：

 （1）

式中：m，k，g是常數(shù)，實(shí)際上，令，有

 （2）

圖2 氣動薄膜調(diào)節(jié)閥

進(jìn)一步考慮式（2）中的摩擦力f，作為動摩擦力可以與式中阻尼項(xiàng)合并。另外，還要考慮系統(tǒng)的靜摩擦力f₀，于是得到垂直安裝時(shí)調(diào)節(jié)閥的運(yùn)動方程：

 （3）

式中：m＞0：與執(zhí)行閥桿剛性連接的運(yùn)動部件總質(zhì)量，η＞0：運(yùn)動阻尼系數(shù)，k＞0：彈簧的彈性系數(shù)，x：閥桿位移，f_s：信號壓力在薄膜上產(chǎn)生的推力，f_t：調(diào)節(jié)閥所控流體在閥芯上的壓力差產(chǎn)生的不平衡力。

由式（3），令，得到氣動薄膜調(diào)節(jié)閥模型在時(shí)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

 （4）

結(jié)論1：時(shí)，氣動薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型是能控且能觀的。

證明：令式（4）中系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，B，C，則

rankM＝2，因此式（4）表達(dá)的系統(tǒng)是能控的。

rankN＝2，因此式（4）表達(dá)的系統(tǒng)是能觀的。

氣動薄膜調(diào)節(jié)閥工作時(shí)f_t受流體動壓的影響。指出在閥芯作勻速運(yùn)動、進(jìn)口流速固定、進(jìn)出口壓差固定等特定條件下，f_t與閥開度存在著關(guān)系，但這些關(guān)系是難以用解析式表達(dá)的，而且，在更一般的條件下，f_t的變化規(guī)律很難掌握。因此，將f_t看做輸入向量中的擾動分量?？蓪⑹剑?）進(jìn)一步寫為：

 （5）

結(jié)論2：當(dāng)，且將f_t固定為某個值時(shí)，氣動薄膜調(diào)節(jié)閥控制模型是能控且能觀的。

證明：在式（2－4＊）中令f_t＝δ（δ是常數(shù)），有

將（f_s－δ）看做控制輸入，使用結(jié)論1的證明方法即可得證。

式（4）中y表示調(diào)節(jié)閥的閥桿位置輸出，它決定調(diào)節(jié)閥提供給流體的流通面積S，根據(jù)不同形狀的閥芯，S與y有不同的函數(shù)關(guān)系，對于具有某種流量特性的調(diào)節(jié)閥來說，這個關(guān)系是確定的，可以一般性地設(shè)為S＝S（y）。

2 管道中流動氣體壓力模型

設(shè)圖1中進(jìn)口壓縮空氣壓力為p₁，出口壓力為p₃，測壓點(diǎn)壓力為p₂，調(diào)節(jié)閥流通面積為S₁，用氣設(shè)備消耗氣體時(shí)等效流通面積為S₂，節(jié)流嘴流通面積為常數(shù)S₀，并給出以下假設(shè)：

假設(shè)1：圖1系統(tǒng)滿足下列條件：

（1）工作氣體為理想氣體；

（2）氣體比熱比為常數(shù)；

（3）各容腔內(nèi)溫度場和壓力場分布均勻；

（4）氣體的流動為等熵流動；

（5）p₁＞p₂＞p₃總是成立。

在假設(shè)1的條件下，得到測壓點(diǎn)壓力動態(tài)方程：

 （6）

式中：V＞0：管道容積，K＞1：氣體比熱比，介質(zhì)是理想氣體時(shí)等于絕熱指數(shù)，R＞0：氣體常數(shù)，C₁，C₂：流量系數(shù)，與氣體節(jié)流處前后的壓差有關(guān)，α₁，α₂：容腔內(nèi)聲速，與容腔內(nèi)的氣體溫度有關(guān)，g₂₁，g₃₂由關(guān)系式表達(dá)：

當(dāng)時(shí)，

 （7）

當(dāng)時(shí)，

 （8）

式中：（i，j）=（2，1），（3，2）。

顯然，方程（3-1）是一個非線性系統(tǒng)。

因p_i＜p_j，K＞1，故式（3－2）中g(shù)_ij關(guān)于單減，于是當(dāng)時(shí)，

 （9）

式中：（i，j）＝（2，1），（3，2）。

設(shè)，將式（6）寫成

 （10）

為了避免過于復(fù)雜的討論，以工程實(shí)際為基礎(chǔ)給出一個假設(shè)。

如圖1所示的系統(tǒng)在實(shí)際工程中可以通過恰當(dāng)?shù)牟考x擇與調(diào)整，使當(dāng)進(jìn)口壓縮空氣壓力和氣體消耗穩(wěn)定，調(diào)節(jié)閥開度固定在某個位置時(shí)，測壓點(diǎn)壓力恒定。于是有：

假設(shè)2：至少存在一個（p₁，S₁，S₂）的取值，使方程（3－5）中p₂＞0且＝0。

顯然，若有一組值p'₁，S'₁，S'₂，p'₂使假設(shè)2成立，則：

 （11）

是方程（10）的一個靜態(tài)解，從而：

（1）可設(shè)此時(shí)的α₁＝S'₂，β1＝p'₁。此時(shí)各容腔的壓力恒定，由C₁，C₂及α₁，α₂含義與特性，故可設(shè)此時(shí)的C1，C2及α₁，α₂分別為常數(shù)β₂，α₂和β₃，α₃。于是，對于式（10），有：

式中：Δα_i，Δβ_i（i＝1，2，3）為對應(yīng)常參數(shù)α_i，β_i（i＝1，2，3）的攝動。

（2）設(shè)。當(dāng)p₁，p₂滿足式（8）條件時(shí)，g₂₁＝β‘₄為常數(shù)。當(dāng)p₁，p₂滿足式（7）條件時(shí)，

由式（9）可得g₂₁＝β’₄+Δβ‘₄（-β’₄＜Δβ‘₄＜0）。從而，在假設(shè)2條件下，總可以找到一個固定的β₄∈（0，β’₄），使此時(shí)的g₂₁＝β₄。同理，可找到一個固定的α₄∈（0，α‘₄），使此時(shí)的g₃₂＝α₄。于是對于式（10），有：

g₃₂＝α₄＋Δα₄，g₂₁＝β₄＋Δβ₄

式中：Δα₄，Δβ₄是對應(yīng)常參數(shù)α₄，β₄的攝動。

設(shè)：

得：

再令p＝p₂，u_s＝S₁，有：

 （12）

這是一個具有不確定性的被控對象，式中Δa、Δb分別是a、b的不確定性。由前面的分析知，a＜0，b＞0。

3 綜合模型討論

由圖1給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及式（5）和（12），可以得到：

結(jié)論4－1：滿足條件及假設(shè)3-1、3-2時(shí)，氣動薄膜調(diào)節(jié)閥控制于氣體壓力可由一組含不確定性的線性系統(tǒng)模型表示：

 （13）

更進(jìn)一步，討論氣動薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關(guān)系的情況，即令u（x₁）＝λx₁（λ＞0為常數(shù)）。再令p＝x₃，由式（13）可得下面結(jié)論。

結(jié)論4-2：當(dāng)滿足條件及假設(shè)3-1、3-2，并且氣動薄膜閥閥桿位置與流體流通面積為線性關(guān)系時(shí)，氣動薄膜調(diào)節(jié)閥控制氣體壓力時(shí)含有不確定性的線性系統(tǒng)模型表示為：

 （14）

式中：y_p表示系統(tǒng)輸出，為圖1測壓點(diǎn)壓力，其余符號同前面討論中的定義。

結(jié)論4-3：將f_t固定為某個值且不確定性Δα=Δb=0時(shí)，結(jié)論4-2給出的系統(tǒng)是控并且是能觀的。

證明：令f_t=δ（是常數(shù)），將（f_s-δ）看做控制輸入，此時(shí)的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣分別為A，b，c，于是，

顯然rankM＝3，rankN＝3，結(jié)論成立。

4 工程中不確定性影響的仿真分析

由于現(xiàn)場組態(tài)簡便且參數(shù)整定有很多成熟經(jīng)驗(yàn)的方法，工程上應(yīng)用PI控制算法十分普遍。一個實(shí)用的問題由此提出：哪一種不確定性對這個閉環(huán)系統(tǒng)的影響更大。

通過構(gòu)造一個采用PI控制算法的仿真實(shí)例對這個問題進(jìn)行分析，控制對象為結(jié)論4-2中給出的線性系統(tǒng)模型。

設(shè)給定信號為y_ref，k_p，k_i＞0為常數(shù)，則控制作用為：

 （15）

令代入式（15），有

 （16）

式中：k_p，k_i分別是PI控制的比例系數(shù)與積分系數(shù)。再綜合式（7），得：

 （17）

于是，工程中使用PI算法實(shí)現(xiàn)氣動薄膜調(diào)節(jié)閥調(diào)節(jié)氣體壓力以跟蹤一個給定信號的問題可以描述為：選擇合適的參數(shù)k_p，k_i＞0，使式（17）中的輸出y_p跟蹤給定y_ref。討論這個問題時(shí)，式（17）可以很方便地使用SIMULINK仿真。

先構(gòu)造一個忽略不確定性的模型。假設(shè)式（17）中：

=3.0，給定信號y_ref為單位階躍函數(shù)。

仿照實(shí)際工程，對按經(jīng)驗(yàn)的方法進(jìn)行試湊，其中一個仿真結(jié)果如圖3所示，此時(shí)。

圖3 一個忽略不確定性的仿真結(jié)果

保持所有參數(shù)不變，使用S函數(shù)模擬PI調(diào)節(jié)過程中出現(xiàn)的不確定性。

首先設(shè)，使系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)攝動，得到的仿真如圖4所示。此時(shí)雖然yp出現(xiàn)了較大超調(diào)，但仍能跟蹤y_ref。

圖4 帶參數(shù)攝動的仿真結(jié)果

進(jìn)一步將作用在閥芯上的不平衡力f_t引入仿真。設(shè)f_t＝0.2+0.1sint，得到如圖5所示的結(jié)果，此時(shí)輸出y_p按閥芯擾動的頻率波動。

圖5 帶參數(shù)攝動和閥芯擾動的仿真結(jié)果

再設(shè)Δb＝0，Δα＝0，得到圖6所示的仿真結(jié)果，此時(shí)輸出y_p仍然按閥芯擾動的頻率波動。

圖6 帶閥芯擾動的仿真結(jié)果

由以上仿真可以看出，使y_p無法跟蹤y_ref的主要原因來自閥芯的擾動，而對于只有參數(shù)攝動的系統(tǒng)來說，PI控制具有一定的魯棒性。因此，在使用PI控制算法的實(shí)際工程中，若要滿足較高的控制精度要求，應(yīng)在氣動薄膜調(diào)節(jié)閥上增加閥門定位器附件，以減少不平衡力的影響。

5 結(jié)論

氣動薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制這類控制對象是一個典型的非線性滯后系統(tǒng)，以工程實(shí)際為基礎(chǔ)給出假設(shè)并且恰當(dāng)引入不確定性，是對這類控制對象進(jìn)行線性系統(tǒng)建模的關(guān)鍵方法。這個方法不但使建模過程簡化，而且得到的模型在討論工程問題時(shí)具有實(shí)用性。

結(jié)論2-1和2-2給出了氣動薄膜調(diào)節(jié)閥的狀態(tài)空間表達(dá)式和基本性質(zhì)，是對這類控制對象建模的基礎(chǔ)，也可以用于其它使用氣動薄膜調(diào)節(jié)閥的系統(tǒng)的建模與分析。

結(jié)論4-1、4-2和4-3給出了氣動薄膜調(diào)節(jié)閥用于氣體壓力控制這類控制對象使用工程近似化方法得到的線性系統(tǒng)模型與基本性質(zhì)。通過一個仿真實(shí)例表明，這些結(jié)論在工程上具有實(shí)用意義。